Deelacties

Deelacties is een term die in verschillende vakgebieden wordt gebruikt om een situatie te beschrijven waarbij een groep, proces of symmetrie slechts gedeeltelijk werkt op een verzameling. In tegenstelling tot een volledige, globale actie geldt de actie slechts op delen van het domein, en moeten de definities en de samenhang van die delen op een consistente manier met elkaar kloppen. Deelacties worden vaak gebruikt om lokale of regionaal geldige gebeurtenissen en symmetrieën te modelleren.

In de wiskunde, en met name in de theorie van groepacties, is een deelactie van een groep G op een verzameling X een verzameling domeinen D_g ⊆ X en bijectieve bijecties α_g: D_g → D_{g^{-1}} die voldoen aan specifieke compatibiliteitsvoorwaarden. Zo geldt bijvoorbeeld dat voor het identiteits-element e: D_e = X en α_e de identiteit op X is, en dat voor alle g,h ∈ G de afbeelding α_g ∘ α_h gedefinieerd en samenhangend is waar beide delen staan gedefinieerd. De conceptie maakt duidelijk dat de groepswerking op X lokaal is en niet noodzakelijk overal gedefinieerd hoeft te zijn.

Toepassingen van deelacties komen voor in onder meer de topologische dynamica en de operatoralgebra's (bijvoorbeeld via groepoid-constructies die uit deelacties voortkomen). Ze bieden een formeel raamwerk om lokale symmetrieën en lokale dynamiek te beschrijven, zodat men systemen kan bestuderen waarin de werking van de groep of het proces beperkt is tot bepaalde regio’s of contexten.

Een begrijpelijk voorbeeld is een ruimte waarin een rotatie slechts geldig is waar geen obstakels zijn; elders is de actie niet gedefinieerd. Deelacties vormen zo een brug tussen lokale en globale structuren.