Convexidad

Convexidad es una noción central en geometría y análisis que describe cuándo la mezcla de puntos permanece en un conjunto. En un espacio vectorial, un conjunto C es convexo si para cualquier par de puntos x y y en C, cualquier punto de la recta que los une, expresado como t x + (1 - t) y con t en [0,1], también pertenece a C. En consecuencia, toda combinación convexa de puntos de C pertenece a C. Ejemplos: segmentos y polígonos convexos; no convexo surge en polígonos con huecos o indentaciones.

Convexidad también se aplica a funciones. Una función f definida en un dominio convexo es convexa si, para todos x, y en su dominio y todo t en [0,1], se cumple f(t x + (1 - t) y) ≤ t f(x) + (1 - t) f(y). Esta desigualdad implica que la gráfica se sitúa por debajo de las rectas que conectan dos puntos. Las subniveles de una función convexa, {x | f(x) ≤ α}, son conjuntos convexos; para funciones diferenciables, la convexidad está relacionada con la curvatura de la gráfica.

El hull convexo de un conjunto es el menor conjunto convexo que lo contiene. Existen teoremas de separación: dos conjuntos convexos disjuntos pueden ser separados por hiperplanos en espacios adecuados. Estas propiedades fundamentan gran parte de la optimización, ya que la minimización de funciones convexas suele garantizar soluciones globales y, a veces, únicas bajo condiciones básicas. También se aplica en economía, ingeniería, estadística y aprendizaje automático.

Historia y alcance: la convexidad se consolidó como disciplina formal en el siglo XX, aunque ideas afines aparecen en geometría y análisis anteriores. Hoy es una herramienta fundamental en teoría y práctica de la optimización, y sirve para entender estructuras y problemas de viabilidad, estabilidad y eficiencia en numerosos campos.