CholeskyDekompositionen

Die Cholesky-Dekompositionen bezeichnen eine Familie von Zerlegungen symmetrischer positiv definiten Matrizen, die in der Praxis oft als Cholesky-Zerlegung bekannt ist. Für eine reale Matrix A gilt: A kann in die Form A = L L^T zerlegt werden, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist. Bei hermiteschen (komplexen) positiven Definitheit gilt entsprechend A = L L^H, wobei L ebenfalls untere Dreiecksmatrix ist und L^H die konjugiert-transponierte von L bezeichnet. Die Zerlegung ist eindeutig, solange die Diagonaleneinträge von L positiv gewählt werden.

Existenz und Voraussetzungen: Die Zerlegung existiert genau dann, wenn A symmetrisch und positiv definit ist. Nicht alle Matrizen besitzen eine Cholesky-Dekomposition; bei Matrizen, die nahe an der Singularität liegen oder nicht positiv definit sind, kann die Zerlegung numerisch problematisch werden.

Algorithmische Perspektive: In einem klassischen Algorithmus wird L sukzessive bestimmt. Für i von 1 bis n werden die Elemente der i-ten Zeile von L berechnet, wobei Diagonal- und Off-Diagonalelemente anhand der bisherigen Teilergebnisse aus A abgeleitet werden. Die Rechenkomplexität liegt bei O(n^3) Fließkommaoperationen, wobei optimierte, blockbasierte Varianten häufig in hochleistungsfähigen Implementierungen verwendet werden.

Anwendungen: Die Cholesky-Dekomposition dient dem Lösen linearer Gleichungssysteme A x = b durch Vorwärts- und Rückwärtssubstitution (L y = b, L^T x = y), der Berechnung von Determinanten (det(A) = (prod diag(L))^2) sowie der Generierung von Zufallsvektoren mit Kovarianzmatrix A (x = L z, z ~ N(0, I)).

Varianten und Erweiterungen: Für komplexe Matrizen gilt A = L L^H. Als robuste Alternative wird oft die LDL^T-Zerlegung A = L D L^T verwendet. Block- und parallele Implementationen verbessern die Leistung bei großen Matrizen.