CholeskyDekompositionen
Die Cholesky-Dekompositionen bezeichnen eine Familie von Zerlegungen symmetrischer positiv definiten Matrizen, die in der Praxis oft als Cholesky-Zerlegung bekannt ist. Für eine reale Matrix A gilt: A kann in die Form A = L L^T zerlegt werden, wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist. Bei hermiteschen (komplexen) positiven Definitheit gilt entsprechend A = L L^H, wobei L ebenfalls untere Dreiecksmatrix ist und L^H die konjugiert-transponierte von L bezeichnet. Die Zerlegung ist eindeutig, solange die Diagonaleneinträge von L positiv gewählt werden.
Existenz und Voraussetzungen: Die Zerlegung existiert genau dann, wenn A symmetrisch und positiv definit ist. Nicht
Algorithmische Perspektive: In einem klassischen Algorithmus wird L sukzessive bestimmt. Für i von 1 bis n
Anwendungen: Die Cholesky-Dekomposition dient dem Lösen linearer Gleichungssysteme A x = b durch Vorwärts- und Rückwärtssubstitution (L
Varianten und Erweiterungen: Für komplexe Matrizen gilt A = L L^H. Als robuste Alternative wird oft die