Diagonaleinträgen

Diagonaleinträge sind die Elemente der Hauptdiagonalen einer quadratischen Matrix A = (a_ij). Die Diagonaleinträge umfassen a_11, a_22, ..., a_nn und bilden die Diagonale von A. Sie spielen eine zentrale Rolle in der linearen Algebra und erscheinen in vielen Berechnungen und Formeln.

Die Summe der Diagonaleinträge wird als Spur von A bezeichnet, mit tr(A) = sum_i a_ii. Die Spur ist eine Matrixinvariante unter Ähnlichkeiten, das heißt sie bleibt bei A = PBP^-1 unverändert, auch wenn die einzelnen Diagonaleinträge von A selbst abweichen. Die Diagonaleinträge allein liefern im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften der Matrix.

Eigenschaften: Die Diagonaleinträge sind reell, wenn die Matrix real oder hermitesch (bzw. symmetrisch) ist. Sie lassen sich zu einem Vektor diag(A) zusammenfassen oder als Diagonalmatrix diag(a_11, ..., a_nn) verwenden. In einer Diagonalform einer Matrix erscheinen die Diagonaleinträge als die Diagonalwerte; bei einer Matrix, die zu einer Diagonalform ähnlich ist, entsprechen diese Werte den Eigenvalues des diagonalisierten Matrixprodukts.

Anwendungen: In der Statistik entsprechen die Diagonaleinträge einer Kovarianzmatrix den Varianzen; in einer Korrelationsmatrix sind sie typischerweise gleich 1. In der Graphentheorie ist der Diagonalwert einer Adjazenzmatrix der ggf. vorhandenen Schleifenanteil eines Graphen.

Beispiele: Für A = [[2, 3, 1], [0, 4, -1], [5, 6, 3]] sind die Diagonaleinträge 2, 4 und 3, und die Spur ist 9. Diagonaleinträge dienen oft als einfache Bausteine in Aggregationen oder als Ausgangspunkt für weitere Matrizenoperationen.