Matrizenoperationen

Matrizenoperationen beziehen sich auf Operationen, die auf Matrizen ausgeführt werden, um neue Matrizen zu erzeugen. Sie sind grundlegende Werkzeuge der linearen Algebra und gelten für Matrizen über einem Körper, typischerweise den reellen oder komplexen Zahlen. Zu den zentralen Operationen gehören Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation, Matrixmultiplikation, Transposition, Inversion, Determinante und Rang, jeweils mit eigenen Eigenschaften und Voraussetzungen.

Bei der Addition und Subtraktion müssen die beteiligten Matrizen die gleiche Größe haben; die Operation erfolgt elementweise. Die Matrixmultiplication verknüpft eine m×n-Matrix A mit einer n×p-Matrix B zu einer m×p-Matrix AB; sie ist im Allgemeinen nicht kommutativ, aber assoziativ und distributiv über Addition. Die Transponierte einer Matrix A, bezeichnet als A^T, ergibt sich durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen; wichtige Identitäten sind (AB)^T = B^T A^T und (A^T)^T = A. Die Inverse einer invertierbaren Matrix A erfüllt A·A^{-1} = A^{-1}·A = I, wobei der Determinant von A ungleich null sein muss.

Die Determinante ist ein Skalarwert, der nur quadratischen Matrizen zugeordnet ist und invertierbarkeit charakterisiert; det(AB) = det(A)det(B). Der Rang einer Matrix gibt die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten an und bestimmt die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme. Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen ermöglichen Gausssche Eliminierung zur Erreichung von Zeilenformen und zur Bestimmung von Rang, Inversen oder Eigenwertproblemen. Spezielle Formen umfassen Diagonalmatrizen, die Identitätsmatrix und die Nullmatrix; Diagonalisierung bzw. die Jordan-Normalform klären das Spektralverhalten von Matrizen.

Anwendungen liegen in der Lösung linearer Gleichungssysteme, Grafikkarten-Transformationen, Datenanalyse und vielen Bereichen der Wissenschaft.