Bündelkonversion

Bündelkonversion bezeichnet in der Differentialgeometrie eine strukturtreue Abbildung zwischen zwei Faserbündeln. Gegeben seien Bündel E → B mit Projektion p und E' → B' mit Projektion p'. Eine Bündelkonversion besteht aus einem Paar (f, g) von Abbildungen f: E → E' und g: B → B', so dass p' ∘ f = g ∘ p gilt. Die Bedingung sichert, dass f die Faser über jedem Punkt der Basis belässt und in den Fasern eine Zuordnung zu den entsprechenden Fasern vornimmt. Bei Vektorbündeln wird zusätzlich verlangt, dass die Abbildung f auf jeder Faser linear ist.

Für den Fall g = Id_B erhält man einen Bündelmorphismen, also eine Abbildung zwischen Bündeln über derselben Basis, bei der jede Faserabbildung f_b: E_b → E'_{b} linear ist. Allgemein kann g eine beliebige Abbildung zwischen den Basen sein; dann spricht man von einem Morphismus zweier Bündel. In der glatten Kategorie verlangt man zudem, dass f und g glatt sind.

In lokalen Trivialisationen wird eine Bündelkonversion durch eine matrixwertige Funktion beschrieben, die die Abbildung auf der Faser darstellt. Bei einem Vektorbündel E = B × V und E' = B' × V' lässt sich f etwa durch f(b, v) = (g(b), A(b) v) darstellen, wobei A(b) eine Matrix ist, die den Übergang zwischen den Faseräumen erfasst. Solche Morphismen bilden die Morphismen-Klasse der betreffenden Bündel-Kategorie.

Anwendungen finden sich in der Theorie assoziierter Bündel, in der Gauge-Theorie sowie allgemein in der Untersuchung von Strukturgruppen, Morphismen und Äquivalenzrelationen zwischen Bündeln. Sie ergänzen das Verständnis von Bündeln, Strukturen und deren Wechselwirkungen.