Faserabbildung

Faserabbildung ist in der Geometrie der Faserbündel ein Abbild zwischen zwei Faserbündeln, das die Faserstruktur erhält. Sei E1 → B1 ein Bündel mit Projektion π1 und E2 → B2 ein Bündel mit Projektion π2. Eine Faserabbildung besteht aus einem Paar (f: E1 → E2, g: B1 → B2) mit der Eigenschaft π2 ∘ f = g ∘ π1. Das bedeutet, dass die Faser über einem Punkt b ∈ B1 auf die Faser über g(b) ∈ B2 abgebildet wird.

Damit f eine Faserabbildung ist, reicht es, dass f die Faserstruktur respektiert: Für alle b ∈ B1 gilt, dass f die Faser E1b in E2g(b) abbildet. Wird g als Basiskoordinatentransformation gewählt, spricht man von einer Faserabbildung über g; ist g der Identitätsabbildung, nennt man f oft eine fasereibende oder fasererhaltende Abbildung.

Beispiele und Varianten: Bei trivialen Bündeln E1 ≅ B1 × F1 und E2 ≅ B2 × F2 kann eine Faserabbildung durch f(b, x) = (g(b), h(x)) beschrieben werden, wobei h: F1 → F2 eine Topologieabbildung ist. Ist h eine Homöomorphismus und gilt g = Id, ergibt sich eine Faserbündelabbildung bzw. -omorphismus.

Bedeutung: Faserabbildungen dienen zum Vergleichen von Bündeln, zum Aufbau von Morphismen zwischen Bündeln und spielen eine zentrale Rolle bei Pullbacks, Homotopie- und Kategorientheorie von Bündeln. Sie ermöglichen es, Strukturen in unterschiedlichen Basen oder Faserstrukturen sinnvoll zueinander zu korrespondieren.