Beobachtbarkeitsmatrix

Die Beobachtbarkeitsmatrix ist ein zentrales Konzept in der Regelungstheorie und der Systemanalyse, insbesondere im Zusammenhang mit linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-Systemen). Sie dient dazu, zu bestimmen, ob alle Zustandsvariablen eines dynamischen Systems durch die verfügbaren Messsignale (Ausgangsgrößen) vollständig beobachtet werden können. Die Matrix wird aus dem Systemmodell in Zustandsraumdarstellung abgeleitet und ermöglicht eine systematische Analyse der Beobachtbarkeit.

Ein LTI-System wird typischerweise durch die Zustandsraumgleichungen

dx/dt = Ax + Bu

y = Cx + Du

beschrieben, wobei x der Zustandsvektor, u der Eingangsvektor, y der Ausgangsvektor und A, B, C, D die entsprechenden Systemmatrizen sind. Die Beobachtbarkeitsmatrix O wird aus den Zeilen der Matrix C und den Produkten von C mit den Potenzen der Matrix A gebildet. Für ein System mit n Zuständen lautet sie:

O = [C^T | A^T C^T | (A^T)^2 C^T | ... | (A^T)^(n-1) C^T]

Die Beobachtbarkeit eines Systems ist gegeben, wenn der Rang der Beobachtbarkeitsmatrix gleich der Anzahl der Zustandsvariablen n ist. Das bedeutet, dass alle Zustände des Systems durch die Ausgangsgrößen y vollständig rekonstruiert werden können. Falls der Rang kleiner als n ist, sind nicht alle Zustände beobachtbar, und das System gilt als nicht vollständig beobachtbar.

Die Beobachtbarkeitsmatrix ist eng verwandt mit der Kontrollierbarkeitsmatrix, die die Kontrollierbarkeit eines Systems analysiert. Während die Kontrollierbarkeitsmatrix die Frage beantwortet, ob ein System durch Eingaben in einen beliebigen Zustand gebracht werden kann, klärt die Beobachtbarkeitsmatrix, ob alle Zustände durch Messungen der Ausgangsgrößen erfasst werden können. Beide Konzepte sind grundlegend für die Synthese von Beobachtern und Reglern in der Regelungstechnik.