Kontrollierbarkeit

Kontrollierbarkeit ist die Fähigkeit eines dynamischen Systems, von jedem beliebigen Anfangszustand aus mit geeigneten Eingaben in jeden gewünschten Endzustand überführt werden zu können. In der Regel wird sie im Rahmen der linearen Regelungstechnik untersucht, oft mit einem Systemmodell der Form x' = Ax + Bu (kontinuierlich) oder x_{k+1} = Ax_k + Bu_k (diskret). Ein System ist genau dann kontrollierbar, wenn der Kontrollebarkeit-Matrix C = [B AB A^2B ... A^{n-1}B] eine Rang n besitzt (n = Ordnung des Systems).

Für Überführungen in endlicher Zeit lässt sich Kontrollierbarkeit auch über den Kontrolgrammian bestimmen. Im Kontinuierlichen ist der Grammian W_c(T) = ∫_0^T e^{At} B B^T e^{A^T t} dt positiv definit, falls das System auf dem Intervall [0, T] kontrollierbar ist. Im Diskreten entspricht der entsprechende Kontrolgrammian W_d(T) = ∑_{k=0}^{T-1} A^k B B^T (A^T)^k der Rangbedingung. Systemkomponenten, die keine Eingänge beeinflussen, oder digitale Beschränkungen können zu Nicht-Kontrollierbarkeit führen.

Nicht-kontrollierbare Systeme sind nicht aus jedem Zustand in jeden anderen Zustand überführbar; dies schränkt Regelungsdesign und Stabilisierung ein. In der Praxis wird Kontrollierbarkeit oft mit der Fähigkeit verbunden, durch zustandsbasierte Regelungen (z. B. u = -Kx) die gewünschten geschlossenen Loop-Eigenschaften zu realisieren, sofern der Systemkreis kontrollierbar ist.

Anwendungsfelder liegen in der Robotik, Fahrzeug- und Antriebstechnik, Energiesystemen, Prozesssteuerung und vielen Bereichen der Automatisierungstechnik. Kontrollen berücksichtigen zudem Nichtlinearitäten, Parameterunsicherheiten und Beschränkungen der Stellgrößen, die die effektive Kontrollierbarkeit beeinflussen können.