Kontrollierbarkeitsmatrix

Die Kontrollierbarkeitsmatrix ist ein zentrales Konzept in der linearen Regelungstheorie, das die Kontrollierbarkeit eines linearen dynamischen Systems prüft. Für ein kontinuierliches System ẋ = A x + B u mit x ∈ R^n und u ∈ R^m bezeichnet A die Systemmatrix und B die Eingangs- bzw. Steuerungsmatrix.

Die Kontrollierbarkeitsmatrix K wird durch K = [B, AB, A^2 B, ..., A^{n-1} B] gebildet. Sie hat die Dimension n × (n m). In einem diskreten Zeitmodell x_{k+1} = A x_k + B u_k erhält man dieselbe Konstruktion.

Der Kalman-Kontrollierbarkeitsrang-Kriterium besagt: Das System ist steuerbar, wenn der Rang von K gleich n ist. Ist Rang(K) < n, spannt sich der Zustandsraum durch die Spalten von K nur über einen Unterraum, der nicht steuerbar ist.

Die Spalten von K bilden den steuerbaren Unterraum des Zustandsraums, also die Richtungen, die sich durch Eingriffe über endliche Zeit erreichen lassen. Diese Eigenschaft ist zentral für den Entwurf von Reglern und die Beurteilung der vollständigen Beeinflussbarkeit eines Systems. Als ergänzende Sichtweise dient der Kontrollegrammian W_c(T) = ∫_0^T e^{A t} B B^T e^{A^T t} dt; W_c(T) ist positiv definit, genau dann wenn das System über das Horizont T vollständig kontrollierbar ist.

Beziehung zur Beobachtbarkeit: Kontrollierbarkeit ist das Dual der Beobachtbarkeit. Die Beobachtbarkeitsmatrix O für das Paar (A, C) wird typischerweise O = [C; CA; ...; CA^{n-1}] gebildet, und ihr Rang bestimmt die Beobachtbarkeit des Systems. In der Praxis werden beide Konzepte zusammen verwendet, um Reglerentwurf und Systemanalyse zu unterstützen.