Zustandsraumdarstellung

Eine Zustandsraumdarstellung ist eine mathematische Modellierung von dynamischen Systemen, die das Systemverhalten durch einen Zustandvektor x, einen Eingangsvektor u und einen Ausgangsvektor y beschreibt. Die Modellgleichungen verwenden Matrizen A, B, C und D, so dass die interne Dynamik, die Eingabe und der Ausgang über diese Matrizen verknüpft sind. Solche Modelle ermöglichen die Analyse mehrerer Eingänge und Ausgänge (Multi-Input-Multi-Output, MIMO) sowie die Einbeziehung des internen Zustands des Systems.

Im kontinuierlichen Zeitbereich lauten die Zustands- und Ausgangsgleichungen dx/dt = A x + B u, y = C x + D u, mit der Anfangsbedingung x(0) = x0. Im diskreten Zeitbereich gelten x[k+1] = A x[k] + B u[k], y[k] = C x[k] + D u[k], mit x0 als Startzustand. Die Dimensionen entsprechen n = dim(x), m = dim(u), p = dim(y).

Der Zustand x fasst interne Größen zusammen, deren zukünftiges Verhalten vollständig durch dx/dt und u bestimmt wird. A beschreibt die Zustandstransitionen, B den Einfluss der Eingaben, C die Zustandsabbildung auf den Ausgang und D den direkten Durchfluss vom Eingang zum Ausgang. Wichtige Eigenschaften sind Reichweite (Kontrollierbarkeit) und Beobachtbarkeit. Zustandsraumdarstellungen sind eng mit der Übertragungsfunktion verknüpft; unter geeigneten Bedingungen besitzt das System eine Transferfunktion, und es gibt Umformulierungen in kanonische Formen wie die kontrollierbare oder beobachtbare Form.

Vorteile liegen in der direkten Modellierung mehrerer Zustandsgrößen, der einfachen Implementierung von Zustandsreglern und Beobachtern (z. B. Luenberger-Observer oder Kalman-Filter) sowie der Möglichkeit, nichtlineare oder zeitvariante Systeme durch Linear-Approximation zu behandeln. Abgeleitete oder erweiterte Modelle umfassen zeitvariable Zustandsräume dx/dt = A(t) x + B(t) u, oder nichtlineare Felder ẋ = f(x,u,t), y = h(x,u,t).