Zustandsräume

Zustandsraum bezeichnet in der Mathematik die Menge aller potenziellen Zustände eines Systems. Er dient als Grundlage für Modelle in Dynamik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Regelungstechnik, in denen der Zustand das vollständige Profil der aktuellen Lage beschreibt.

Oft wird dem Zustandsraum eine zusätzliche Struktur gegeben, etwa eine Topologie oder Metrik, um Nachbarschaften und Konvergenz zu definieren, sowie eine σ-Algebra, um Wahrscheinlichkeiten festzulegen. In vielen Fällen handelt es sich um einen topologischen Raum oder einen messbaren Raum.

In dynamischen Systemen entspricht der Zustandsraum dem Phasenraum. Der Zustand umfasst beispielsweise Koordinaten wie Ort und Impuls. Die zeitliche Entwicklung wird durch eine Abbildung oder einen Fluss beschrieben, der den Zustand zu späteren Zeitpunkten in X belässt.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie kann der Zustandsraum der Wertebereich einer Zufallsgröße oder die Ergebnismenge eines Experiments sein. Bei stochastischen Prozessen, insbesondere Markovketten, wird der Übergang von Zuständen durch Wahrscheinlichkeiten festgelegt, wobei der Raum je nach Modell endlich, abzählbar oder kontinuierlich sein kann.

Wichtige Eigenschaften sind Endlichkeit, Abzählbarkeit, Kompaktheit oder die Zugehörigkeit zu einem Polnischen Raum (abgeschlossener, trenbarer metrischer Raum). Solche Strukturen erleichtern Analysis, Messung und Stochastik.

Anwendungen umfassen die Zustandsdarstellung in der Regelungstechnik, die Phasenräume in der Physik sowie Modellierungen in Statistik, Ökonomie und Informatik.