Bayesische

Bayesische Statistik, auch Bayessche Inferenz genannt, bezeichnet eine Familie von Methoden in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, die auf dem Satz von Bayes basieren. Zentral ist die Interpretation von Wahrscheinlichkeit als Grad der Überzeugung oder subjektiver Glaubenswahrscheinlichkeit, der sich anhand neuer Evidenz verändert.

Das Kernprinzip ist der Satz von Bayes: P(A|D) = P(D|A) · P(A) / P(D). Dabei steht P(A) für die a priori-Wahrscheinlichkeit von A, P(D|A) für die Likelihood, P(D) für die Evidenz und P(A|D) für die a posteriori-Wahrscheinlichkeit von A nach Berücksichtigung der Daten D. Praktisch bedeutet dies, dass man Vorwissen (Prior) mit den Daten (Likelihood) kombiniert, um eine aktualisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung (Posterior) zu erhalten.

Wichtig ist der explizite Umgang mit Unsicherheit. Bayessche Methoden erlauben das Quantifizieren von Unsicherheit in Parametern und Vorhersagen, einschließlich der Möglichkeit, Vorwissen durch Prior-Verteilungen abzubilden. Gegenüber dem Frequentismus wird die Interpretation von Wahrscheinlichkeit als Grad der Überzeugung betont, wobei Priors je nach Kontext informativ oder nicht informativ gewählt werden können. In vielen Modellen ermöglichen konjugierte Priors analytische Lösungen; oft erfolgt die Berechnung jedoch numerisch mittels Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden oder Variationsinference.

Anwendungen finden sich in Statistik, Maschinenlernen, Medizin, Finanzwesen und mehr. Beispiele umfassen Spam-Filter, medizinische Entscheidungsunterstützung, A/B-Tests und Empfehlungssysteme. Erweiterungen umfassen Bayessche Netze zur Modellierung von Abhängigkeiten, hierarchische Modelle und nichtparametrische Bayes-Verfahren wie der Dirichlet-Prozess.

Historisch geht die Idee auf Thomas Bayes zurück; die Theorem-Formalisierung wurde im 18. Jahrhundert von Pierre-Simon Laplace weiterentwickelt. Bayessche Methoden haben sich zu einem zentralen Ansatz in der modernen Datenanalyse etabliert.