Basismengen

Basismengen bezeichnen in der linearen Algebra eine Menge von Vektoren, die einen Vektorraum V vollständig und eindeutig darstellen. Genauer: Eine Basismenge B ⊆ V ist eine Teilmenge, die linear unabhängig ist und V erzeugt. Das heißt, jeder Vektor v ∈ V kann eindeutig als endliche lineare Kombination v = α1 b1 + ... + αk bk geschrieben werden, wobei αi ∈ F und bi ∈ B. Die Koeffizienten αi heißen Koordinaten von v bezüglich B.

Die Kardinalität einer Basismenge nennt man Dimension des Vektorraums. Wenn V endlichdimensional ist, haben alle Basismengen die gleiche Kardinalität n, und n = dim V. In diesem Fall ist V isomorph zu F^n. Bei unendlicher Dimension existieren Basismengen ebenfalls; verschiedene Basen haben die gleiche Kardinalität, wobei die Darstellung eines Vektors durch eine endliche Anzahl von Nichtnullkoeffizienten erfolgt.

Beispiele: In R^3 mit der Standardbasis B = {e1, e2, e3} erhält man eindeutige Koordinaten jedes Vektors. Der Raum der Polynome bis Grad n hat die Basismenge {1, x, x^2, ..., x^n}. Für den Raum der ganzen Polynome P(R) liefert die unendliche Basis {1, x, x^2, ...} eine Basismenge.

Eigenschaften: Eine Basis liefert ein Koordinatensystem, und Änderungen der Basis erfolgen durch invertierbare Transformationen. In einem inneren Produkt-Raum lässt sich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Basismenge in eine Orthonormalbasis überführen. Basismengen sind eng verwoben mit Erzeugendensystemen, Linearer Unabhängigkeit und dem Dimension-Begriff der linearen Algebra.