Axiomáticos

Axiomáticos es la disciplina de la lógica y la matemática que estudia sistemas formales basados en axiomas y reglas de inferencia, con el objetivo de proporcionar fundamentos rigurosos para teorías matemáticas. Un axioma es una proposición aceptada sin prueba y las reglas de deducción permiten derivar teoremas a partir de los axiomas. Los resultados se expresan en un lenguaje formal, con sintaxis y semántica definidas.

La axiomatización busca claridad y verificabilidad. Sus temas centrales son la consistencia (no derivar contradicciones), la completitud y la decidibilidad, así como la relación entre axiomas y modelos que satisfacen esos axiomas.

Históricamente, la axiomática nace en la geometría euclidiana y se desarrolla con Frege, Hilbert y otros para fundamentos de la aritmética y la teoría de conjuntos. Este enfoque dio origen a la lógica formal, la teoría de la demostración y, en la informática, lenguajes de programación con tipos y verificación de software. Conceptos afines incluyen teoremas de independencia, teoría de conjuntos ZF y sistemas de tipos.

La axiomatización sigue estudiando la independencia de axiomas y la necesidad de axiomas nuevos, usando métodos de demostración y modelos. En filosofía de las matemáticas, plantea preguntas sobre la fundamentación y la naturaleza de las verdades matemáticas. Ejemplos notables: los Axiomas de Peano y la teoría de conjuntos ZF.