Autokorrelationen

Autokorrelationen beschreiben die Ähnlichkeit eines zeitabhängigen Signals mit einer zeitversetzten Kopie desselben Signals. Für einen stochastischen Prozess X_t mit Erwartungswert μ und Varianz σ^2 definiert sich die Autokovarianz gamma(k) als Gamma(k) = Cov(X_t, X_{t+k}) = E[(X_t − μ)(X_{t+k} − μ)]. Die Autokorrelation r(k) erhält man durch Normierung mit gamma(0) = σ^2: r(k) = Gamma(k) / Gamma(0). Unter Stationarität hängen Gamma(k) und r(k) nur vom Versatz k ab.

Die Autokorrelationsfunktion (ACF) enumeriert r(k) für verschiedene Verzögerungen k. Typischerweise gilt r(0) = 1 und -1 ≤ r(k) ≤ 1. Die ACF dient zur Beurteilung der Abhängigkeiten in der Zeitreihe und zur Erkennung von Mustern wie Trends oder Saisonalität; signifikante Autokorrelationen bei bestimmten Verzögerungen deuten auf wiederkehrende Strukturen hin.

Schätzung erfolgt häufig über die Stichprobenautokorrelation r̂(k) = [∑_{t=1}^{n−k} (x_t − x̄)(x_{t+k} − x̄)] / [∑_{t=1}^n (x_t − x̄)^2], wobei x̄ der Mittelwert der Stichprobe ist. Ergänzend wird häufig die partielle Autokorrelationsfunktion (PACF) verwendet, die die direkte Abhängigkeit eines Terms von X_{t−k} unter Ausschluss der Zwischeneffekte anderer Lags betrachtet und bei der Modellwahl von AR-Teilen hilft.

Verwendung: Autokorrelationen sind zentral in der Zeitreihenanalyse, insbesondere bei der Identifikation und Diagnose von ARIMA-Modellen, der Prüfung auf whiteness der Residuen, der Identifikation saisonaler Strukturen und in Bereichen wie Ökonometrie oder Signalverarbeitung. Eigenschaften schließen ein, dass r(0)=1 gilt, der Betrag von r(k) ≤ 1 ist und in großen Stichproben r(k) gegen Null gehen kann, wenn keine Abhängigkeit besteht.