Aufzählbare

Aufzählbare bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Menge, dass sie in eine abzählbare Reihenfolge gebracht werden kann. Hintergrund ist die Vorstellung, dass die Elemente der Menge nacheinander aufgelistet werden können, ohne etwas auszulassen. Formal bedeutet dies: Eine Menge A ist abzählbar, wenn sie endlich ist oder es eine Bijektion zwischen A und den natürlichen Zahlen ℕ gibt. In diesem Sinn umfasst eine abzählbare Menge sowohl endliche als auch abzählbar unendliche Mengen.

Als Beispiele gelten die natürlichen Zahlen ℕ, die ganzen Zahlen ℤ, die rationalen Zahlen ℚ und jede endliche Menge. Auch viele andere mathematische Objekte, wie die Menge aller algebraischen Zahlen oder die Menge aller endlichen Zeichenketten über einem endlichen Alphabet, sind abzählbar. Die Begriffe auf Deutsch variieren: aufzählbar, abzählbar oder zählbar werden oft synonym verwendet, wobei gelegentlich kleine stilistische Unterschiede in der Verwendung auftreten.

Im Gegensatz dazu stehen unzählbare Mengen. Das bekannteste Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen ℝ, die sich durch Cantors Diagonalargument als nicht abzählbar zeigt. Der Begriff der Abzählbarkeit spielt eine zentrale Rolle in der Mengenlehre, Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie: Abzählbare Mengen haben zum Beispiel oft die Eigenschaft, dass ehemals unendliche Strukturen sich durch Zuordnung zu ℕ systematisieren lassen, und in vielen Kontexten gelten sie als “kleiner” als unzählbare Mengen, besonders in Bezug auf Größenordnungen und Maße.

Zusammenfassend bezeichnet aufzählbar (abzählbar) eine Menge, die eindeutig sequenziert oder bijektiv zu ℕ abzubilden ist, wobei finite und abzählbar unendliche Mengen eingeschlossen sind.