aufzählbar

Aufzählbar ist ein Begriff der Mengenlehre, der beschreibt, wie sich eine Menge in eine Reihenfolge bringen lässt. Eine Menge S heißt aufzählbar, wenn sie endlich ist oder es eine Bijektion zwischen S und einer Teilmenge der natürlichen Zahlen N gibt. In dieser Form lässt sich jedes Element von S genau einer natürlichen Zahl zuordnen, wodurch eine Enumeration von S entsteht.

Formal lassen sich zwei Fälle unterscheiden: Wenn S eine Bijektion mit einer Teilmenge von N besitzt, ist S abzählbar. Wenn zusätzlich eine Bijektion mit der ganzen Menge N besteht, ist S abzählbar unendlich. Endliche abzählbare Mengen werden oft einfach als aufzählbar bezeichnet.

Beispiele: Die natürlichen Zahlen N sind aufzählbar und abzählbar unendlich. Die ganze Menge der ganzen Zahlen Z ist abzählbar, ebenso die rationalen Zahlen Q. Im Gegensatz dazu ist die Menge der reellen Zahlen R nicht aufzählbar (unbeschränkt unzählbar). Auch die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar, während die Menge aller reellen Funktionen auf dem Intervall [0,1] im Allgemeinen unzählbar ist.

Eigenschaften: Unter der Annahme des Wahlaxioms gilt, dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen abzählbar ist. Endliche Produkte abzählbarer Mengen bleiben abzählbar; auch Untermengen einer abzählbaren Menge sind abzählbar. Nicht abzählbar sind Mengen wie der Potenzmenge von N oder der Satz der reellen Zahlen.

Verwendung: Der Begriff wird in der Mathematik vor allem in der Mengenlehre und Analysis verwendet, um zu unterscheiden, ob eine Menge in eine Endlosschleife der Elemente abgebildet werden kann oder nicht.