Acotadas

Acotadas es el femenino plural del adjetivo acotado y se utiliza en matemáticas para describir objetos que poseen una cota superior (y a veces inferior) en un cierto sentido. En general, se aplica a conjuntos, secuencias, funciones o familias de funciones cuando existe un límite finito que contiene a todos sus valores.

En espacios métricos o normados, un subconjunto S de un espacio X es acotado si existe un número M ≥ 0 tal que la norma de cada elemento de S sea capaz de no exceder M (por ejemplo, para X con norma euclídea, se cumple ||x|| ≤ M para todo x ∈ S). De modo equivalente, S está contenido en una bola de radio M centrada en el origen. Una función f: D → R es acotada si su conjunto de valores {f(x) : x ∈ D} es acotado, es decir, existe M tal que |f(x)| ≤ M para todo x en D. También puede hablarse de una familia de funciones F ser acotada si existe M de modo que |f(x)| ≤ M para todo f ∈ F y todo x en el dominio.

Ejemplos comunes: el intervalo [0, 1] es acotado; el intervalo abierto (0, 1) también es acotado; la recta real completa no es acotada. En relación con la compacidad, un conjunto en R^n es compacto si es cerrado y acotado (teorema de Heine–Borel). Ser acotado no implica ser compacto en general; en espacios de dimensión infinita, incluso conjuntos cerrados y acotados pueden no ser compactos.

Una noción relacionada es la de familia acotada de funciones, donde existe una cota uniforme para los valores de todas las funciones en la familia sobre su dominio. Las nociones de acotación son fundamentales en análisis real y análisis funcional para estudiar convergencia y continuidad.