ARCHGARCHModelle

ARCH-GARCH Modelle sind eine Familie von Zeitreihenmodellen zur Beschreibung der bedingten Varianz von Renditen. Sie zielen darauf ab, die empirisch beobachteten Muster der Volatilität zu erklären, insbesondere Volatility Clustering, bei dem Phasen hoher Schwankung aufeinander folgen. Die ARCH-Familie wurde in den 1980er-Jahren entwickelt und hat sich in Finanzen und Ökonometrie etabliert.

Der klassische ARCH(q) Modellrand: ε_t = σ_t z_t, mit z_t standardisiert: E[z_t]=0, Var[z_t]=1, und σ_t^2 = α0 + ∑_{i=1}^q α_i ε_{t-i}^2. Wenn zusätzlich σ_t^2 sich auch als Funktion vergangener σ_{t-i}^2 ausdrückt, ergibt sich das GARCH(p,q) Modell: σ_t^2 = α0 + ∑_{i=1}^q α_i ε_{t-i}^2 + ∑_{j=1}^p β_j σ_{t-j}^2. Damit variiert die bedingte Varianz selbst abhängig von vergangenen Abweichungen und Varianzen.

Es gibt zahlreiche Erweiterungen: EGARCH (logarithmische Form, ermöglicht asymmetrische Reaktionen auf positive/negative Schocks); TGARCH oder GJR-GARCH (Leverage-Effekte); IGARCH (Integration in Varianz, langsame Abkühlung); FIGARCH (fractional integration für Langzeitgedächtnis); APARCH (Potenzparameter und Flexibilität in der Form der Varianz). Auch multivariate GARCH-Modelle wie BEKK, VECH oder DCC werden genutzt, um Kovarianzen und Korrelationen zwischen mehreren Vermögenswerten zu modellieren.

Schätzung erfolgt typischerweise durch Maximum-Likelihood-Schätzung unter Annahmen über die Verteilung der Standardfehler z_t (normal, t-Verteilung). Anwendungen umfassen Forecasting der Volatilität, Risikomessung (Value at Risk), Optionspricing und Stress-Testing. Die Modelle setzen stationäre Strukturen und ausreichende Datenbasis voraus und sind empfindlich gegenüber Modellwahl, Verteilungsannahmen und strukturellen Brüchen.

Begrenzungen umfassen Modellrisiko, die Annahme einer bestimmten Verteilungsform und die Berücksichtigung von Regimewechseln. Alternativen umfassen Stochastische-Volatilitätsmodelle, nichtparametrische Ansätze oder hybride Modelle, die in modernen Anwendungen oft zusammen mit fortgeschrittenen Multivarian-Modellen genutzt werden.