GARCHModelle

GARCHModelle, kurz Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity-Modelle, sind statistische Modelle zur Beschreibung und Prognose der zeitlichen Varianz in Zeitreihen. Sie adressieren Volatilitätsspitzen und Volatilitäts-Clustering, wie sie typischerweise in Finanzrenditen auftreten. Anders als klassische Modelle geht die Varianz nicht konstant, sondern hängt von vergangenen Fehlern und Varianzen ab.

Das Standard-GARCH(p,q) Modell umfasst eine Mittelwertgleichung r_t = mu + epsilon_t, epsilon_t = sigma_t z_t, wobei z_t iid mit E[z_t]=0, Var[z_t]=1. Die Bedingte Varianz folgt sigma_t^2 = alpha0 + sum_{i=1}^q alpha_i epsilon_{t-i}^2 + sum_{j=1}^p beta_j sigma_{t-j}^2, mit Alpha0>0, alpha_i>=0, beta_j>=0 und stationäre Bedingung sum alpha_i + sum beta_j < 1 (bei q=p=1 vereinfacht: sigma_t^2 = alpha0 + alpha1 epsilon_{t-1}^2 + beta1 sigma_{t-1}^2).

Historisch wurden ARCH-Modelle von Robert F. Engle 1982 eingeführt; Bollerslev erweiterte 1986 zu GARCH. Seitdem gibt es zahlreiche Erweiterungen, die unterschiedliche Aspekte der Volatilität berücksichtigen.

Erweiterungen: EGARCH (logarithmische Form zur besseren Behandlung von Asymmetrie und Verschiebung), TGARCH/GJR-GARCH (Berücksichtigung von Leverage-Effekten), IGARCH (Integrationseigenschaft), APARCH, etc. Modelle unterscheiden sich in Form der Bedingten Varianz und Verteilungsannahmen der Residuen, z.B. Normal- oder t-Verteilung.

Anwendungen: Risikoabschätzung, Value-at-Risk, Volatilitätsprognosen für Optionen, Portfolio-Management. Vorteile: interpretable, relativ einfache Schätzung; Limitierungen: empfindlich gegenüber Spezifikation, Annahmen über Verteilung, asymmetrische Reaktion, modellrisiko.

Software: GARCH-Modelle lassen sich in R (Pakete rugarch, fGarch) und Python (library arch, statsmodels) schätzen.