0vormen

0-vormen zijn in de differentiale meetkunde differential forms van graad nul; met andere woorden: ze zijn gladde functies op een gladne variëteit M. Een 0-vorm op M is een functie f: M → ℝ die lokaal glad is.

Deze 0-vormen vormen een algebra onder puntgewijze optelling en vermenigvuldiging. De exterior afgeleide d koppelt een 0-vorm f aan een 1-vorm df. In lokale coördinaten luidt dit df = ∑_i (∂f/∂x^i) dx^i. De operator d verbreedt verder naar hogere graden en voldoet aan d^2 = 0, wat centraal staat in de de Rham-cohomologie.

Eigenschappen en interpretatie: df encodeert de infinitesimale verandering van f en is in feite de variant van de gradient in de taal van differentiële vormen. Een 0-vorm f is gesloten wanneer df = 0, wat betekent dat f constant is op elke component van M. In dat geval vertegenwoordigt f een element van H^0(M). Over een verbonden hoeveelheid zijn gesloten 0-vormen dus constant.

Toepassingen en context: 0-vormen vormen de basis van de de Rham-keten en dienen als startpunt voor constructies met hogere vormen. In Euclidische ruimte R^n is een 0-vorm een scalair veld; df bepaalt de richting van grootste stijging. Een belangrijke eigenschap is het fundamentele teorem van lijnintegralen: voor een pad γ geldt ∫_γ df = f(γ(1)) − f(γ(0)).

Voorbeelden: constante functies zijn triviale 0-vormen. Een functie f(x) = x^2 op R^1 is een 0-vorm; df = 2x dx is een 1-vorm. 0-vormen fungeren als bouwstenen voor meer complexe vormen en spelen een centrale rol in de calculus op variëteiten.