Übertragungsfunktionen

Übertragungsfunktionen beschreiben die Eingangs-Ausgang-Beziehung linearer zeitinvarianter Systeme (LTI). Sie fassen das dynamische Verhalten eines Systems in eine Funktion zusammen, die aus dem Eingangssignal X(t) das Ausgangssignal Y(t) ableitet.

Für ein kontinuierliches System lautet H(s) = Y(s)/X(s) im Laplace-Bereich, vorausgesetzt Nullstartbedingungen. Die Impulsantwort h(t) steht in Beziehung zu H(s) durch H(s) = L{h(t)}. Für diskrete Systeme verwendet man die Z-Transformation: H(z) = Y(z)/X(z); hier entspricht H(z) der Z-Transformierte der Impulsantwort h[n].

Typischerweise ist H(s) bzw. H(z) eine rationale Funktion H(s) = N(s)/D(s). Pole (Nullstellen von D) und Nullstellen (Nullen von N) bestimmen Stabilität und Frequenzverhalten. Bei kausalen Systemen liegt die Region der Konvergenz entsprechend; Stabilität erfordert, dass alle Pole in der linken Halbebene (kontinuierlich) bzw. im Einheitskreis (diskret) liegen.

In der Frequenzanalyse erhält man H(jω) bzw. H(e^{jω}) durch Auswertung von s = jω bzw. z = e^{jω}. Betrag und Phase von H(jω) liefern Amplitude- und Phasenverschiebung des Ausgangs. Die Übertragungsfunktion macht aus der zeitlichen Faltung mit der Impulsantwort eine Multiplikation im Frequenzbereich: Y(s) = H(s)X(s).

Erweiterungen umfassen MIMO-Systeme und Zustandsraummodelle; Transferfunktionen werden dann als Matrix dargestellt. Grenzen: Gültig nur für lineare, zeitinvariante Systeme; nichtlineare oder zeitvariante Systeme erfordern andere Beschreibungen oder Approximationen.