Transferfunktionen

Eine Transferfunktion beschreibt das Verhältnis der Ausgangsgröße Y(s) zur Eingangsgröße U(s) eines linearen zeitinvarianten Systems im Laplace-Bereich: H(s) = Y(s) / U(s). Für diskrete Systeme lautet das Verhältnis H(z) = Y(z) / U(z). Eine Transferfunktion existiert, wenn das System linear, zeitinvariant ist und durch eine lineare Differential- oder Differenzgleichung verbunden wird. Die Übertragungseigenschaften eines solchen Systems werden durch die Impulsantwort h(t) beschrieben, deren Laplace-Transformation H(s) ist; in der Zeitdomäne gilt y(t) = h(t) * u(t) (Faltung).

Wichtige Merkmale sind Polstellen und Nullstellen der Transferfunktion. Die Stabilität eines kontinuierlichen Systems verlangt, dass alle Polstellen p_i die Bedingung Re(p_i) < 0 erfüllen; bei diskreten Systemen liegen die Polstellen innerhalb des Einheitskreises (|p_i| < 1 im z-Ebene). Transferfunktionen liefern zudem Informationen über das Frequenzverhalten des Systems, z. B. durch die komplexe Frequenzantwort H(jω) mit Betrag und Phase; Darstellungen wie Bode- oder Nyquist-Diagramme werden genutzt, um Verstärkung und Phasenlage zu beurteilen.

Beispiele: Ein erster Ordnung RC-Glied hat H(s) = 1/(RCs + 1). Ein zweiter Ordnungssystem hat H(s) = ω_n^2 / (s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2). Diskrete Transferfunktionen haben die Form H(z) = (b0 + b1 z^-1 + …) / (1 + a1 z^-1 + …).

Zusammenhang: Transferfunktionen lassen sich auch aus Zustandsraumdarstellungen ableiten, H(s) = C (sI − A)^{-1} B + D. Anwendungen finden sich im Reglerentwurf, der Systemidentifikation und der Signalverarbeitung.