widerspruchsfreiheit

Widerspruchsfreiheit, auch Konsistenz genannt, bezeichnet die Eigenschaft eines formalen Systems, einer Theorie oder eines Programms, dass aus den Axiomen und den Ableitungsregeln weder ein Satz p noch dessen Negation ¬p ableitbar sind. Sie bedeutet damit das Fehlen widersprüchlicher Ableitungen und bildet eine Grundvoraussetzung für sinnvolle Theorien.

Formal wird Widerspruchsfreiheit oft über die Nicht-Ableitung eines Widerspruchs ausgedrückt. Eine verbreitete Methode zu ihrer Beurteilung ist der Nachweis der Modellexistenz: Ist es möglich, der Theorie T ein Modell zuzuordnen, in dem alle Axiome wahr sind, gilt T als konsistent. In der Beweissprache bedeutet dies, dass es keinen Beweis für eine Widerspruchsformel (etwa ⊥) innerhalb des Systems gibt.

Historisch eng verbunden mit dem Begriff ist das Verständnis von Konsistenz innerhalb der Logik und der Mathematik. Der Gödel'sche Unvollständigkeitssatz zeigt, dass ein hinreichend starkes, konsistentes formales System nicht in der Lage ist, seine eigene Konsistenz innerhalb des Systems zu beweisen. Daraus folgt die Praxis der Relativkonsistenzbeweise: Man zeigt, dass die Theorie T aus der Annahme einer anderen, als konsistent angenommenen Theorie C folgt.

Anwendungsfelder finden sich in der Mathematik, der formalen Verifikation von Software und Hardware sowie in Wissensrepräsentationen. Widerspruchsfreiheit ist eine Grundvoraussetzung für zuverlässige Schlussfolgern, Beweissysteme und Softwaremodelle. In parakonsistenten Logiken, in denen Widersprüche toleriert werden, gilt die traditionelle Bedeutung von Widerspruchsfreiheit jedoch nicht in gleicher Weise.