NichtAbleitung

NichtAbleitung bezeichnet im mathematischen Fachjargon die Eigenschaft einer Funktion, an bestimmten Stellen nicht ableitbar zu sein. Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x beschreibt die lokale Änderungsrate von f und ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, sofern dieser Grenzwert existiert. Eine NichtAbleitung liegt vor, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht existiert oder gegen unendlich divergiert.

Typische Ursachen sind Ecken oder Knicke, senkrechte Tangenten oder stark oszillierende Verläufe.

Beispiele: Die Funktion f(x) = |x| besitzt an x = 0 keine Ableitung, weil der rechts- und linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten verschieden ist. Die Weierstraß-Funktion ist ein klassisches Beispiel einer Funktion, die überall nicht differenzierbar ist (nowhere differentiable).

In mehrdimensionaler Analysis kann eine Funktion f: R^n -> R an einem Punkt x0 partielle Ableitungen besitzen, der Gradient existieren oder nicht; dennoch kann sie nicht differenzierbar sein, wenn die lineare Näherung nicht eindeutig definiert werden kann. Umgekehrt kann NichtAbleitung auch trotz vorhandener partieller Ableitungen auftreten.

Verwandte Konzepte sind Kontinuität, Differenzierbarkeit, Lipschitz-Stetigkeit und Dini-Differentiale. Die Untersuchung von NichtAbleitung hilft, das feine Verhalten von Funktionen zu verstehen, insbesondere an Stellen, an denen glatte Näherungen versagen. Anwendungen finden sich in der Analysis, der Geometrie und der Approximationstheorie.