verzamelingenpresentaties

Verzamelingenpresentaties is een term uit de wiskunde en theoretische informatica die verwijst naar een manier om een verzameling of, breder, een algebraïsche theorie te beschrijven door middel van generatoren en relaties. Een verzamelingenpresentatie geeft daarmee aan hoe objecten kunnen worden opgebouwd en welke identiteiten tussen die opbouw gelden.

Formeel bestaat een verzamelingenpresentatie uit een signature en een set relaties. De signature bestaat uit een verzameling generatoren (operation symbols) met een bepaalde ariteit. De relaties zijn equaties tussen termen die met deze generatoren zijn gebouwd. De modellen van zo’n presentatie zijn de algebraïsche structuren die interpretaties geven aan de generatoren en waarin alle relaties waar zijn.

In de gebruikelijke notatie wordt een presentatie vaak geschreven als <X | R>, waarbij X de verzameling generatoren voorstelt en R de verzameling relaties. De gecreëerde structuur is de vrije algebra over X modulo de congruentie die wordt opgewekt door R. Voorbeelden: een groep met presentatie <X | R> waar X de generatoren bevat en R de relatieregels; bijvoorbeeld de cyclische groep van orde n: <x | x^n = e>; een diëdrische groep: <r, s | r^n = e, s^2 = e, srs = r^{-1}>.

Verzamelingenpresentaties spelen een centrale rol bij de formalisering van algebraïsche theorieën (Lawvere-theorieën, equationale theorieën) en in de computerwetenschappen bij de specificatie van algebraïsche datatypeconstructies en syntaxis.

Zie ook: presentaties (wiskunde), algebraïsche theorie, Lawvere-theorie, equational theory.

---