vektteori

Vektteori är en gren av matematiken som studerar vektorer, vektorrum och de operationer som binder dem samman. Den omfattar såväl konkreta vektorer i rum som R^n som abstrakta vektorrum över fältet, vanligtvis de reella eller komplexa talen. Vektorer används för att beskriva storlek, riktning och plats i rum.

Grundläggande operationer är addition och skalär multiplikation, vilket gör det möjligt att bilda nya vektorer genom linjära kombinationer. Normen eller längden ||v|| mäter storleken på en vektor, medan riktningen beskriver dess vektorled. Den inre produkten (skalärprodukten) definierar vinklar och projektioner, medan korsprodukten (i tre dimensioner) ger en vektor som är vinkelrät mot två givna vektorer.

Vektorrum kännetecknas av linjära kombinationer. Begreppen linjärt oberoende, span och dimension binder ihop vektorerna till baser och koordinatsystem. Varje vektorrum har en bas, och varje vektor kan skrivas unikt som en linjärkombination av basvektorerna.

Linjära avbildningar mellan vektorrum bevarar addition och skalär multiplikation. Dessa avbildningar kan representeras av matriser i ett valt baspar och leder till begrepp som kärna, bild, rang och isomorfi mellan rum.

Vektoranalys behandlar funktioner som tilldelar vektorer till punkter i ett rum. Viktiga operationer är gradienten, divergensen och curl. Viktiga resultat inkluderar Green, Stokes och divergensatsen (Gauss satsens version), vilka kopplar olika typer av integraler till ytor och kurvor.

Användningsområden sträcker sig över fysik, datorgrafik, maskininlärning, ekonomi och ingenjörsvetenskap, där vektorer beskriver krafter, hastigheter, riktningar och data. Vektteori utgör en grundsten i modern matematik och dess tillämpningar.