Vektoranalys

Vektoranalys är gren av matematiken som studerar vektorfält och de differential- och integrala operatorer som används för att analysera dem. Ett vektorfält associerar varje punkt i rummet med en vektor, till exempel hastighetsfält i en vätska eller elektromagnetfält i rymden.

Grundläggande operatorer är gradienten ∇f av en skalar funktion f, som pekar i riktning mot största ökningen; divergensen ∇·F av ett vektorfält F, som beskriver hur mycket fältet flyter ut ur en punkt; curl eller rotation ∇×F, som mäter fältets lokala rotation; samt Laplacian ∇²f, som är divergensen av gradienten och ofta används i partiella differentialekvationer.

Integralteknikerna omfattar linjeintegraler ∫ F · dr längs en kurva och yt-/ytintegraler över ytor. Viktiga samband mellan differentiation och integration återspeglas i Greens sats (i två dimensioner), Stokes sats och Gauss sats (divergens sats), som kopplar linje- och ytintegraler till gradient-, curl- och divergensoperatorer.

Användningar märks inom fysik och teknik: Maxwells ekvationer i differential form; strömningar i fluiddynamik; potentialfält där F = ∇φ för konservativa fält; och i datorgrafik, geovetenskap samt signalbehandling.

Historia: modern vektoranalys utvecklades av William Gibbs och Oliver Heaviside i slutet av 1800-talet och blev ett centralt verktyg inom fysik och ingenjörskonst; Maxwells ekvationer bygger på dessa idéer.

---