Linjära

Linjära är ett begrepp som används inom flera vetenskapsområden för att beskriva linjäritet. I matematik innebär linjäritet att en relation mellan variabler kan beskrivas med en linjär funktion eller avbildning. En funktion f är linjär om den uppfyller f(a x + b y) = a f(x) + b f(y) för alla x, y i domänen och för alla scalärer a och b. Detta uttrycker additivitet och homogenitet. När man talar om linjära avbildningar i vektorrum gäller T(u + v) = T(u) + T(v) och T(c v) = c T(v). Grafiskt är en linjär funktion i en variabel en rät linje som passerar genom origo; en funktion av formen y = m x + b kallas oftare affint linjär.

Inom linjär algebra är centrala begrepp vektorrum, linjärkombinationer, spann, bas och dimension. Linjära avbildningar kan representeras med matriser: om T är en linjär avbildning mellan ändligtdimensionella vektorrum kan den beskrivas av en matris A, där T(v) = A v. Detta möjliggör enkel beräkning genom matrisoperationer som multiplikation.

Praktiska tillämpningar inkluderar linjär regression och andra linjära modeller där den förutsagda utgången är en linjär funktion av ingångsvariablerna. Sådana modeller är ofta lätta att tolka och effektiva att beräkna, även om de ibland behöver kompletteras med icke-linjära termer eller transformeringar för att fånga mer komplexa samband.

Inom fysik och teknik används linjära system som goda närmevärden nära jämvikt eller för små störningar, där principen om superposition gäller. Se även linjär algebra, linjär avbildning, matris, regression.