matrisoperationer

Matrisoperationer är grundläggande operationer som utförs på matriser i linjär algebra. De vanligaste är addition och subtraktion av matriser med samma dimension, där varje element behandlas separat: A + B och A − B ger en ny matris C där c_{ij} = a_{ij} ± b_{ij}. Skalär multiplikation innebär att varje element i en matris multipliceras med ett tal: cA.

Matrisprodukten AB definieras när antalet kolumner i A är lika med antalet rader i B. Om A är av mått m×n och B är n×k blir produkten AB en matris av mått m×k, där c_{ij} = ∑_{l=1}^n a_{il} b_{lj}. Transponering byter rader och kolumner, så att A^T är en matris där elementet i’t t diagonalt speglas.

Invers och determinant är centrala för kvadratiska matriser. En kvadratisk matris A har inversen A^{-1} om och endast om det(A) ≠ 0, och då är A A^{-1} = A^{-1} A = I. Determinanten är en skalär funktionsvärde som bestäms endast för kvadratiska matriser; det(A) ≠ 0 indikerar att A är invertibel. Viktiga egenskaper är det(AB) = det(A) det(B) och det(A^T) = det(A).

Rang och radoperationer används för att analysera och lösa system av linjära ekvationer. Ranget är dimensionen av kolumn- eller radrumet och kan bestämmas genom radreducering till trappform. De grundläggande radoperationerna är att byta rader, multiplicera en rad med ett icke-nolltal, samt lägga till en konstant multipel av en rad till en annan rad. Genom gaussisk elimination kan man lösa system och hitta lösningar som är unika, oändligt många eller inga.

Användningar av matrisoperationer finns inom teknik, fysik, ekonomi och dataanalys, där linjära avbildningar och system av ekvationer är centrala.