vecotorregels

Dit artikel geeft een beknopt overzicht van vecotorregels, oftewel de regels die gelden bij vectoren in wiskunde en aanverwante vakgebieden. Een vector is een geordende n-tupel van getallen die richting en grootte in een ruimte voorstelt. In de Euclidische ruimte R^n wordt een vector vaak geschreven als v = (v1, ..., vn). De nulvector is de vector waarbij alle componenten nul zijn.

Vectoroperaties omvatten optelling en scalaire vermenigvuldiging. Bij optelling gelden de componentgewijze regels: u+v = (u1+v1, ..., un+vn). Vectoren vormen onder optelling een afgebakende algebraïsche structuur: commutatief en associatief; er bestaat een neutrale element de nulvector. Scalaire vermenigvuldiging voldoet aan c(u+v) = cu + cv en (a+b)u = au + bu. Distributieve regels en associativiteit gelden.

De dot product (in R^n) is u·v = sum_i ui vi. Het is commutatief en distributief over vectoroptelling. De norma (of lengte) van v is ||v|| = sqrt(v·v). De driehoekongelijkheid en de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid houden gelden. In 3D bestaan ook de vectorproducten: de kruisproduct u×v, die orthogonaal staat op beide vectoren en een grootte heeft gelijk aan ||u|| ||v|| sinθ.

Lineaire combinaties, de span en vectorruimten vormen basisbegrippen: een set van vectoren die onafhankelijk is en waarvan de span de gehele ruimte beslaat, noemen we een basis; de dimensie is het aantal vectoren in een basis. Veranderingen van coördinaten en basissen leiden tot verschillende representaties van dezelfde vector.

Deze regels vormen de basis voor toepassingen in geometrie, natuurkunde en computergraphics.