unabzählbare

Unabzählbar bedeutet in der Mathematik, dass eine Menge nicht abzählbar ist. Eine Menge ist abzählbar, wenn sie endlich ist oder eine Bijektion mit den natürlichen Zahlen besitzt. Demgegenüber ist eine unabzählbare Menge nicht abzählbar; sie hat eine höhere Mächtigkeit als N. Der Begriff dient der Unterscheidung zwischen verschiedenen Größenordnungen unendlicher Mengen.

Die bekannteste unabzählbare Menge ist die Menge der reellen Zahlen. Der Beweis ihrer Unzählbarkeit stammt von Georg Cantor und nutzt den Diagonalisierungsbeweis, um zu zeigen, dass sich die reellen Zahlen nicht in einer Liste erfassen lassen. Folgerungen sind, dass jedes Intervall wie [0,1] unabzählbar ist; auch der gesamte Zahlenstrahl R hat dieselbe Mächtigkeit wie [0,1]. Die Cantor-Menge ist ein weiteres klassisches Beispiel: Sie ist unzählbar, obwohl sie ein Nullmaß besitzt.

Im Deutschen wird unabzählbar mit uncountable übersetzt. Die Mächtigkeit des Kontinuums, oft mit c bezeichnet, ist diejenige der reellen Zahlen. Die Unterscheidung zwischen unabzählbar und abzählbar ist eine Grundidee der Mengenlehre und bildet eine zentrale Grenze zwischen endlichen und unendlichen Größenordnungen.