tussenwaardetheorema

Het tussenwaarde­theorema, ook bekend als het Intermediate Value Theorem, is een fundamenteel resultaat uit de reële analyse. Het gaat uit van continue functies en waarborgt dat elke tussenliggende waarde van de functiewaarden wordt bereikt op het domein.

Stelling: laat f continu zijn op het gesloten interval [a,b]. Als y een getal is tussen f(a) en f(b) (dus f(a) ≤ y ≤ f(b) of f(b) ≤ y ≤ f(a)), dan bestaat er ten minste één c in [a,b] met f(c) = y. In het geval dat f(a) ≠ f(b) kan men bovendien stellen dat er een c in (a,b) bestaat met f(c) = y. De stelling houdt in dat een continue functie haar beeld niet “sprongsgewijs” overslaat en dus alle tussenliggende waarden bereikt.

Bewijsopzet: vaak wordt g(x) = f(x) − y onderzocht. Dan is g continu op [a,b], en de aanwezigheid van een y-waarde betekent dat g(a) en g(b) different van teken zijn. Het bewijs kan vervolgens worden opgezet door te kijken naar het supremum van het deel van het interval waar g ≤ 0, of door de regelmatige overgang van waarden via de definitie van continuïteit en de eindpuntwaarden.

Historisch: het theorema is oorspronkelijk toegeschreven aan Bernard Bolzano, die het in het begin van de 19e eeuw formuleerde. Een meer toegankelijke bewijsvoering is later door Weierstrass ontwikkeld. Het wordt gezien als een uiting van het tussenwaardengedrag van continue functies.

Toepassingen: het IVT wordt gebruikt om het bestaan van wortels van f(x) = 0 aan te tonen, om aan te tonen dat functies bepaalde waarden bereiken, en bij existentiële bewijzen in de analyse en numerieke methoden.