translatieoperator

De translatieoperator, ook wel translatie of verschuiving genoemd, is een lineaire operator die een functie f omzet in een verschoven versie. Een veelgebruikte definitie is (T_a f)(x) = f(x − a), waarbij a een reële parameter is. Deze definitie verschuift de grafiek van f met a eenheden naar rechts voor a > 0. Een andere gangbare conventie is (T_a f)(x) = f(x + a), waardoor de verschuiving naar links plaatsvindt. Translatie kan worden toegepast op functies op het hele reële getal en op verschillende functieruimten zoals L^p.

Eigenschappen: De operator is linear, T_0 = I en T_a T_b = T_{a+b}. Translatie is een isometrie op L^p-ruimten (1 ≤ p ≤ ∞), wat inhoudt dat ∥T_a f∥_p = ∥f∥_p. In L^2 is T_a bovendien een unitaire operator. De verzameling {T_a : a ∈ ℝ} vormt zo een translatiegroepe, die continu afhankelijk is van de parameter a.

Generator en exponentiële formulering: De infinitesimale generator van de translatiegroep is D = d/dx. Formeel geldt T_a = exp(a D); voor geschikte functies is T_a f ≈ f + a f' bij kleine a.

Fourier-relatie: Onder de gebruikelijke Fourier-transformatie geldt F{T_a f}(ω) = e^{−i ω a} F{f}(ω) bij de definitie (T_a f)(x) = f(x − a). Translatie in de tijd/ruimte correspond een faseverandering in het frequentiedomein.

Toepassingen: Translatie wordt veel gebruikt in signaal- en beeldverwerking, waar verschuiving van signalen of beelden centraal staat, in de kwantummechanica, en bij de studie van translatie-invariante systemen en oplossingsmethoden voor partiële differentialen. In discrete setting luidt de definitie vaak (T_k f)[n] = f[n − k], met equivalente eigenschappen.