topología

La topología es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los espacios que se conservan bajo deformaciones continuas, como estiramientos y doblados, sin desgarros ni pegados. Su lenguaje central es el de los conjuntos abiertos y las nociones de continuidad y cercanía, que permiten razonar sin depender de distancias específicas.

Un espacio topológico consta de un conjunto X junto con una topología T, que es una colección de subconjuntos de X llamados abiertos y que satisfacen ciertas axiomas: contienen al conjunto vacío y X, son estables ante uniones arbitrarias y ante intersecciones finitas. A partir de los abiertos se definen interior, cierre y frontera; un subconjunto es abierto si pertenece a T y es cerrado si su complemento es abierto. Una función entre espacios es continua si la preimagen de cada abierto es abierto. Dos espacios son homeomorfos si existe una biyección continua con inversa continua, lo que significa que comparten la misma estructura topológica.

Conceptos clave incluyen la conectividad, la compacidad, la densidad y la continuidad en sentido general. Una base de una topología es una colección de abiertos que genera la topología completa. Las topologías pueden surgir de estructuras métricas, productos, subespacios o cocientes.

Las principales ramas son la topología general o de punto-espacio, la topología algebraica (invariants como grupos de homotopía y cohomología), la topología diferencial (variedades suaves), la topología geométrica y la topología computacional o aplicada. Cada una desarrolla métodos para clasificar y estudiar espacios mediante invariantes y técnicas de construcción.

Históricamente, Cantor y Brouwer influyeron en los orígenes; Hausdorff formalizó la noción de espacio topológico en los inicios del siglo XX. Sus ideas se aplican en física, análisis de datos, informática y otras áreas para modelar formas, dinámicas y relaciones en contextos abstractos y concretos.