homeomorfos

Un homeomorfismo, en topología, es una biyección entre dos espacios topológicos X e Y que es continua y cuyo inverso también es continuo. Si existe un homeomorfismo entre X e Y, se dice que son homeomorfos y, por tanto, que son topológicamente equivalentes. El concepto captura cuando dos espacios tienen la misma estructura topológica, aunque puedan diferir en su forma geométrica.

Propiedades y usos. Si h: X → Y es un homeomorfismo, entonces para cualquier subconjunto A ⊆ X se tiene que A es abierto (o cerrado) en X si y solo si h(A) es abierto (o cerrado) en Y. En consecuencia, los invariantes topológicos, como la conectividad, la compacidad, la planitud local, la Hausdorffness y la dimensionalidad, se conservan bajo un homeomorfismo. Además, dos espacios son homeomorfos si existe una correspondencia que mantiene la estructura geométrica a un nivel profundo, no solo de forma aislada.

Ejemplos. Un ejemplo clásico es que una taza de cerámica con asa y un toro son homeomorfos: se dice que una taza es una representación topológica de un toro. El disco cerrado y el cuadrado cerrado son homeomorfos, ya que ambos son espacios compactos y simples con borde que se puede deformar continuamente entre sí. En el plano, R^n es homeomorfo a cualquier dominio abierto que tenga la misma dimensión, pero R^n no es homeomorfo a R^m si n ≠ m. Por el contrario, el intervalo abierto (0,1) no es homeomorfo al cerrado [0,1] debido a diferencias de compacidad.

Notas. El conjunto de auto-homeomorfismos de un espacio X, Home(X), forma un grupo bajo composición. Los homeomorfismos son, en la categoría de espacios topológicos, los isomorfismos.