topológica

Topología, en español a veces referida como topológica, es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los espacios que permanecen invariantes bajo deformaciones continuas, como estiramientos o doblados, sin cortar ni pegar. El término procede del griego topos (lugar) y lógos (estudio). En su formalidad, un espacio topológico es un conjunto X equipado con una colección τ de subconjuntos de X, llamada topología, que satisface: el conjunto vacío y X pertenecen a τ; la unión arbitraria de conjuntos de τ pertenece a τ; la intersección finita de conjuntos de τ pertenece a τ. Los conjuntos que no pertenecen a τ se denominan cerrados; sus complementos son abiertos.

Un mapa f entre espacios topológicos es continuo si la preimagen de cada conjunto abierto es abierto. La noción de homeomorfismo (una biyección continua con inversa continua) define la equivalencia topológica: dos espacios son topológicamente equivalentes si existe un homeomorfismo entre ellos. Entre los conceptos centrales figuran la compacidad (todo recubrimiento abierto admite subrecubrimiento finito) y la conectividad (el espacio no se puede dividir en dos partes abiertas no vacías). La topología puede ser inducida por una métrica; los espacios métrico-tópicos son estudiados en la topología de puntos.

Ramas y enfoques: la topología de conjuntos de puntos, la topología general/elemental, y la topología algebraica, que asocia invariantes como grupos y anillos para analizar formas y espacios. Entre sus resultados emblemáticos se encuentran teoremas como el de punto fijo de Brouwer y, en la topología algebraica, la teoría de grupos fundamentales y la homología. Las aplicaciones son amplias en análisis, geometría, física y ciencias computacionales.