homeomorfo

Un homeomorfo es una aplicación biyectiva entre dos espacios topológicos que es continua y cuyo inverso también es continuo. Si existe un homeomorfo entre X y Y, se dice que X y Y son homeomorfos y, por tanto, tienen la misma estructura topológica. El concepto es fundamental en topología, donde se estudian las propiedades que permanecen invariantes bajo estas equivalencias.

Propiedades y conceptos relacionados: Los homeomorfos forman una equivalencia sobre el conjunto de espacios topológicos. La composición de dos homeomorfos es un homeomorfo, y la función identidad en un espacio es un homeomorfo. El inverso de un homeomorfo es también un homeomorfo. Dado que un homeomorfo conserva la topología, espacios homeomorfos comparten propiedades como la conectividad, la número de componentes, la compacidad y la dimensión topológica. En particular, la existencia de un homeomorfo es una forma de decir que dos espacios tienen la misma “forma” topológica, aunque no necesariamente la misma métrica.

Ejemplos y no ejemplos: Un objeto de una taza de café y un toro (donut) es un ejemplo clásico de homomorfismo topológico, ya que pueden deformarse uno en otro sin cortar ni pegar, manteniendo la continuidad. Una esfera S^2 y la superficie de un cubo son homeomorfas. En cambio, el intervalo cerrado [0,1] y el abierto (0,1) no son homeomorfos, porque [0,1] es compacto y (0,1) no lo es. Tampoco lo son la recta real R y el semieje [0,∞) en términos de topología cerrada versus abierta.

Véase también: topología, homeomorfismo, espacios topológicos. El estudio de los homeomorfos permite clasificar espacios según su estructura global más que por medidas geométricas.