tesselação

Uma tesselação, ou tiling, é o preenchimento do plano por figuras planas, de modo que não haja lacunas nem sobreposições entre elas. Em tesselações, as unidades costumam repetir-se por translações, resultando num padrão que se estende infinitamente no plano. As tesselações podem ser regulares, semiregulares, uniformes ou aperiodicas, dependendo dos polígonos usados e da organização dos vértices.

As tesselações regulares utilizam apenas um polígono regular. No plano, existem apenas três: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono, que se encaixam para cobrir a superfície de forma periódica.

As tesselações arquimedianas, ou semiregulares, combinam dois ou mais polígonos regulares de forma que cada vértice tenha o mesmo arranjo. Existem 11 tesselações arquimedianas distintas no plano.

As tesselações aperiodicas não possuem repetição translacional, ou seja, não se repetem regularmente em toda a superfície. O exemplo mais conhecido é a tesselação de Penrose, que usa dois tipos de peças que se encaixam de maneira não periódica, gerando padrões de simetria de cinco dedos. Tais tesselações ajudaram a explicar a estrutura de quasicristais, materiais descobertos no final do século XX.

Historicamente, a ideia de preencher o plano com polígonos remonta a Euclides e a estudos posteriores de Kepler e outros matemáticos. Além da matemática, as tesselações têm aplicação em arte, arquitetura, computação gráfica e design, além de servir como modelo conceitual em ciência dos materiais.