teilstrukturen

Teilstrukturen (auch Unterstrukturen) sind Strukturen, die aus einer gegebenen Struktur A durch Beschränkung der Daten auf eine Teilmenge des Universums gewonnen werden. Formal sei A eine Struktur mit einer bestimmten Signatur L. Eine Teilstruktur B von A besitzt ein Teiluniversum U_B ⊆ U und interpretiert alle Funktions-, Relationen- und Konstantensymbole so, dass sie mit der Restriktion auf U_B übereinstimmen. In der universellen Algebra genügt es, dass U_B abgeschlossen ist unter den Grundoperationen von A.

In relationalen Strukturen, etwa Graphen, bedeutet dies, dass die Relationen auf B die im Umfeld von A eingeschränkten Relationen sind. Die Teilstruktur ist dann exakt die Induktion von A auf U_B, d. h. alle relevanten Symbole werden durch Restriktion definiert.

Beispiele: Eine Untergruppe H eines Gruppe G ist eine Teilstruktur von G. Ein Unterring S eines Ring R ist eine Teilstruktur, sofern S abgeschlossen ist unter Addition und Multiplikation (und je nach Definition ggf. die Einsegnungen). Ein Untergraph eines Graphen G besteht aus einer Teilmenge der Knoten und allen Kanten, die zwischen ihnen verlaufen. In geordneten Mengen kann eine Teilstruktur eine Teilordnung sein.

Wesentliche Eigenschaften: Die Inklusionsabbildung i: B → A ist eine Einbettung, wenn sie die Struktur erhält. Oft unterscheidet man auch elementare Unterstrukturen, bei denen jede First-Order-Formel mit Parametern aus B in A und in B denselben Wahrheitswert hat.

Bedeutung: Teilstrukturen ermöglichen das Studium von Verhalten in Teilbereichen, unterstützen das Transferieren von Eigenschaften und sind zentral in der Algebra, der Graphen- und der Modelltheorie.