subgroepenvoorbeeld

Subgroepenvoorbeeld is een term die in de wiskunde wordt gebruikt om een concreet voorbeeld van een subgroep binnen groepentheorie te geven. Een subgroep H van een groep G is een verzameling die zelf een groep vormt onder dezelfde bewerking als G. Dit houdt in dat de identiteit van G in H ligt, H gesloten is onder de bewerking van G, en elk element van H zijn inverse ook in H heeft.

Definitie en kernvoorwaarden: als G een groep is met operatie *, dan is H een subgroep van G als aan de volgende voorwaarden voldaan is: 1) het identiteitselement e van G ligt in H, 2) voor alle a, b in H geldt a * b in H (sluitingsaxiom), en 3) voor elk a in H geldt dat het inverse a^{-1} ook in H ligt.

Eigenschappen: elke subgroep van een eindige groep heeft orde die deelt de orde van G (Lagrange’s theorem). Een subgroep kan al dan niet normaal zijn; een subgroep die normaal is, laat een quotientgroep G/H toe. Triviale voorbeelden zijn de verzameling {e} en de hele groep G zelf, die altijd subgroepen zijn.

Voorbeelden:

- In de groep van gehele getallen onder optelling, (Z, +), is nZ een subgroep voor elke gehele n. Het bevat 0 en is gesloten onder optelling; het inverse van kn is -kn.

- In de symmetrische groep S3 is {e, (12)} een subgroep van orde 2; de groep A3 is een normaal subgroep van S3.

- In het multiplicatieve grouppan C* (niet nul complexe getallen onder vermenigvuldiging) is de verzameling van complex getallen met modulus 1 een subgroep.

Deze voorbeelden illustreren hoe subgroepen ontstaan en welke eigenschappen ze bezitten in verschillende contexten.