slumpvektor

Slumpvektor är en vektor av slumpvariabler och används inom sannolikhet och statistik för att beskriva flera relaterade storheter samtidigt. En slumpvektor X = (X1, ..., Xk) är en stokastisk variabel som tar värden i R^k och definieras på ett sannolikhetsrum (Ω, F, P). Varje komponent Xi representerar en slumpstorhet och tillsammans beskriver de den gemensamma fördelningen av dessa storheter.

Den gemensamma fördelningen beskrives ofta med en densitet f_X(x) över R^k om den finns. Förväntningen E[X] är vektorn av komponenternas förväntningar μ = (E[X1], ..., E[Xk]). Kovariansmatrisen Σ med Σ_ij = Cov(Xi, Xj) fångar hur komponenterna samvarierar. Denna struktur gör det möjligt att beskriva samband mellan flera variabler samtidigt. Om X har en kontinuerlig fördelning kan man tala om dess densitet samt dess marginal- och konditionella fördelningar.

Egenskaper: två slumpvektorer X och Y är oberoende om deras gemensamma täthet faktorerar. Linjära avbildningar Y = AX + b ger nya slumpvektorer med igenkännbara parametrar om X har kända egenskaper. En vanlig modell är den multivariata normalfördelningen X ∼ N_k(μ, Σ), där μ är medelvektorn och Σ covariance.

Användningar: slumpvektorer används inom multivariat statistik, riskbedömning, portföljteori och maskininlärning för att hantera flera relaterade stokastiska storheter samtidigt.