semigruppen

Semigruppen, auch Semigruppen genannt, sind algebraische Strukturen bestehend aus einer nicht leeren Menge S zusammen mit einer binären Verknüpfung ⋅: S × S → S, die assoziativ ist: Für alle a, b, c in S gilt (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c). Im Gegensatz zu Gruppen ist die Verknüpfung nicht notwendigerweise invertierbar und es muss kein neutrales Element existieren.

Sollte es ein neutrales Element e in S geben, sodass e ⋅ a = a ⋅ e = a für alle a in S, spricht man von einer Monoidstruktur. Enthält S zusätzlich zu der Assoziativität jedes Element ein inverses, nennt man die Semigruppe eine Gruppe. Unterhalb von Semigruppen versteht man nichtleere Unterstrukturen, die für alle a, b in der Untermenge deren Verknüpfung binden, sodass sie ebenfalls eine Semigruppe ist.

Beispiele sind leicht zu finden: Die natürliche Zahlengruppe (N, +) bildet eine Semigruppe; ebenfalls die Menge aller Wörter über ein Alphabet mit der Konkatenationsverknüpfung (Σ*, Monoid mit Identität ε). Die Menge der m×m-Matritzen über einem Ring bildet eine Semigruppe unter der Matrizenmultiplikation; sie wird zuweilen als Monoid bezeichnet, wenn eine Identität existiert.

In der Theorie der Semigruppen spielen Identitätselemente (idempotente Elemente, e² = e), Green’sche Relationen und verschiedene Typen von Semigruppen eine Rolle (z. B. Bands, reguläre Semigruppen). Homomorphismen erhalten die Struktur und ermöglichen Quotienten-Semigruppen über Kongruenzen.

Anwendungen finden sich in der Automatentheorie, formalen Sprachen und der Repräsentation von Semigruppen Algebren. Semigruppen bilden eine zentrale, vielseitig verwendete Struktur in der modernen Algebra.