Monoidstruktur

Eine Monoidstruktur ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge M mit einem binären Operator ▫ und einem distinguisheden Element e in M besteht, so dass folgende Eigenschaften gelten: Es ist abgeschlossen, das heißt für alle a, b in M liegt a▫b wieder in M; die Operation ist assoziativ, das heißt (a▫b)▫c = a▫(b▫c) für alle a, b, c in M; und es gibt ein Identitätselement e, das für jedes a in M gilt: e▫a = a▫e = a. Der Begriff wird oft als Monoid (M,▫,e) bezeichnet.

Beispiele: Die natürlichen Zahlen mit der Addition und der Null als Identität bilden ein Monoid (N, +, 0). Ebenso die natürlichen Zahlen mit der Multiplikation und der Eins (N, ×, 1). Die Menge aller Wörter über ein Alphabet Σ mit der Konkatenation als Operator und dem leeren Wort ε als Identität bildet ein freies Monoid. Endomorphismen einer Menge unter der Verkettung bilden ebenfalls ein Monoid mit dem Idenditätstransformationsoperator.

Wichtige Konzepte sind Untermonoid, die Teilmenge E von M, die abgeschlossen ist und das Identitätselement enthält, sowie Monoidmorphismen, die Struktur-erhaltende Abbildungen zwischen Monoiden: f(a▫b) = f(a)▫f(b) und f(e) = e. Monoide können durch Generatoren und Relationen beschrieben werden (Präsentationen) und bilden eine wichtige Struktur in der Algebra sowie in der Informatik, z. B. in der formalen Sprachtheorie und beim Modellieren von Prozessen.

Verwandt ist der Begriff Semigroup; jeder Monoid ist eine Semigroup mit identitätsbildendem Element, während es bei einer Semigroup kein identitätselement geben muss. Monoide dienen auch als Grundlage classischer Kategorien, in denen eine einzige Objektsmenge modelliert wird.