m×mMatritzen

m×mMatritzen sind quadratische Matrizen der Größe m×m. Sie bestehen aus einem m×m-Gitter von Elementen aus einem Feld F (häufig Real- oder Complexzahlen) und dienen als Repräsentation linearer Abbildungen von F^m nach F^m. Die Standardnotation ist A ∈ F^{m×m}.

Wesentliche Eigenschaften umfassen den Determinant det(A), der die Invertierbarkeit bestimmt: A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0, entsprechend rank(A) = m. Die Inverse A^{-1} existiert dann. Die Spur tr(A) ist die Summe der Diagonaleinträge und entspricht der Summe der Eigenwerte. Die Eigenwerte λ erfüllen det(A − λI) = 0; das Produkt der Eigenwerte ergibt det(A).

Operationen und Zerlegungen umfassen Addition, Multiplikation, Skalarmultiplikation und Transponierte A^T; bei komplexen Matrizen auch konjugiert-transponiert A*. Wichtige Zerlegungen sind LU-, QR- und die Singulärwertzerlegung (SVD). Gegebenenfalls ist eine Diagonalisierung A = PDP^{-1} möglich, falls A eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Typen: symmetrische Matrizen (A^T = A) bzw. hermitesche Matrizen (A^H = A), reelle orthogonale Matrizen Q mit Q^T Q = I und unitäre Matrizen U mit U^H U = I. Anwendungen umfassen das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Beschreibung linearer Transformationen sowie Einsatz in Grafik, Physik und Datenverarbeitung.