QuotientenSemigruppen

QuotientenSemigruppen ist der Begriff aus der Halbgruppen- und Mengentheorie, der die Bildung eines Quotientenhalbgruppe durch eine Kongruenzrelation beschreibt. Eine Kongruenz ∼ auf einer Halbkgruppe S ist eine Äquivalenzrelation, die mit der Verknüpfung verträglich ist: Falls a ∼ a' und b ∼ b' gilt, dann auch ab ∼ a'b'. Die Quotientenhalbgruppe S/∼ besteht aus den Äquivalenzklassen [a] = {x in S | x ∼ a}, mit der Multiplikation [a][b] = [ab].

Wichtige Eigenschaften ergeben sich aus der Abbildungstheorie. Sei φ:S→T eine surjektive Halbkörperhomomorphismus (Halbgruppenhomomorphismus). Dann ist Ker φ = {(a,b) | φ(a) = φ(b)} eine Kongruenz auf S. Umgekehrt ergibt jeder Kongruenz ∼ auf S eine natürliche Abbildung von S nach S/∼, deren Kern ∼ ist; nach dem ersten isomorphes Satz gilt S/ Ker φ ≅ im φ.

Eine besondere Art der Quotientenbildung ist der Reesquotient. Sei I eine zwei-seitige Ideale von S. Dann definiert man die Rees-Kongruenz a ∼ b gilt, wenn a=b oder beide in I liegen. Der Quotient S/I besteht aus den Elementen S\I zusammen mit einem Null-Element 0, wobei das Produkt so gewählt wird, dass ab ∈ I folgt, dass [ab]=0; andernfalls [ab]=ab.

Beispiele zeigen die Nützlichkeit: Die Kongruenz modulo n auf (N,+) liefert den endlichen semigruppen Z/nZ. Quotienten semigruppen spielen eine zentrale Rolle in der Strukturoptik, in der Formalsprachen-Theorie (sintaktische Halbwildheiten) und in der algebraischen Grundlagenforschung, da sie die Struktur von Abbildungen und Unterstrukturen verfeinern.