selectieaxioma

Selectieaxioma, ook bekend als het axioma van keuze, is een fundamentele aanname in de verzamelingenleer. Het stelt dat uit elke verzameling van niet-lege verzamelingen er een selectiefunctie bestaat die voor elke verzameling precies één element kiest. Met andere woorden: als we een familie A = {A_i : i ∈ I} van niet-lege verzamelingen hebben, dan bestaat er een functie f met domein I zodat f(i) ∈ A_i voor elk i.

Het selectieaxioma is onafhankelijk van de overige axioma's van de verzamelingenleer (ZF); het kan niet worden afgeleid uit ZF en evenmin worden weerlegd. Wel kan het worden geaccepteerd als toevoeging aan ZF, waarmee ZFC ontstaat.

In veel wiskundige theorieën is AC essentieel omdat het vele belangrijke resultaten mogelijk maakt. AC is bijvoorbeeld gelijkwaardig aan het wel-ordenen van elke verzameling, aan Zorn's Lemma en aan de stelling van Tychonoff voor producten van topologische ruimtes. Daarnaast volgt uit AC dat elke vectorruimte over elk veld een basis heeft, en dat elke surjectie een rechterinverse heeft.

Er bestaan varianten die zwakker zijn dan AC, zoals het Axioma van Keuze voor telbare verzamelingen (ACω) en het Ultrafilter Lemma. In de constructieve wiskunde wordt AC vaak niet aangenomen, en men onderzoekt welke uitdrukkingen zonder AC afgeleid kunnen worden of welke equivalenties er bestaan.

Historisch werd het axioma van keuze geïntroduceerd door Ernst Zermelo in 1904 om het bestaan van welordening te bewijzen; sindsdien wordt het gezien als een van de meest centrale maar omstreden axioma’s in de verzamelingenleer.