selbstadjungierenden

Selbstadjungierende Operatoren sind lineare Operatoren T auf einem komplexen Hilbertraum H, deren Definitionsbereich D(T) dicht in H liegt und die zu ihrem Adjunkten T* gleich sind. Das heißt, T = T* und D(T) = D(T*). Solche Operatoren sind abgeschlossen und dicht definiert, und ihr Spektrum ist real. Die Selbstadjungertheit ermöglicht den vollständigen Spektralsatz: Es existiert eine Spektralmaßung E, sodass T durch das Spektralintegral T = ∫ λ dE(λ) beschrieben werden kann. Daraus lassen sich Funktionen von T, insbesondere Borel-Funktionen, sinnvoll definieren.

Beispiele sind der Laplace-Operator Δ auf L^2(Ω) mit Dirichlet- oder Neumannrandbedingungen, der selbstadjungiert ist, sowie der unendliche Impulsoperator p = −i d/dx auf L^2(R) mit der Domain H^1(R). Auch auf Intervallen lassen sich selbstadjungierte Operatoren mit passenden Randbedingungen erhalten.

Nicht jeder symmetrische Operator ist selbstadjungiert. Selbstadjungertheit erfordert D(T) = D(T*) und T = T*. Falls dies nicht erfüllt ist, kann eine symmetrische (dichte) Operator-Erweiterung existieren, die selbstadjungiert ist. Wichtige Konzepte sind dafür die Deficiency-Indizes und, bei semibeschränkten Operatoren, die Friedrichs- oder Krein-Erweiterung.

Selbstadjungierte Operatoren spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik, der Störungstheorie und der PDE-Theorie, weil der Spektraltheorem eine robuste Analyse ermöglicht und Funktionen von Operatoren sinnvoll definiert werden können.