Neumannrandbedingungen

Neumann-Randbedingungen beschreiben die Angabe des normal gerichteten Ableitungswerts der gesuchten Größe u auf dem Rand ∂Ω eines Raums Ω. Die klassische Form lautet ∂u/∂n = g auf ∂Ω, wobei ∂u/∂n = ∇u · n die Ableitung in Richtung der äußeren Normalenvektor n des Randes ist. In generalisierter Form, z. B. bei Gleichungen der Form ∇·(A ∇u) = f, kann die Randbedingung n·A ∇u = g auf ∂Ω lauten.

Physikalisch bedeuten Neumann-Randbedingungen, dass der Fluss durch die Randfläche festgelegt wird. Im Wärmeleitungskontext entspricht dies einem bestimmten Wärmefluss q_n = -k ∂u/∂n, in der Strömungsmechanik einem Massentransport durch den Rand und in der Elektrodynamik einer festgelegten Flussdichte. Eine Neumann-Bedingung beschreibt damit oft ein „ins Randfeld hinein–hinaus“ gerichtetes Austauschverhalten oder eine isolierte (insbesondere homogene) Randfläche, je nach Wahl von g.

Eine Besonderheit des reinen Neumann-Problems ist die mögliche Nicht-Eindeutigkeit der Lösung: Bei homogener Randbedingung ∂u/∂n = 0 ist u durch eine additive Konstante verschiebbar. Für Poisson-Gleichungen ∆u = f mit Neumann-Bedingung ∂u/∂n = g ist eine Lösung vorhanden, sofern die Kompatibilitätsbedingung ∫Ω f dx = ∫∂Ω g ds erfüllt ist. In Rabat- oder diskreten Formulierungen erscheinen Neumann-Bedingungen als natürliche Randbedingungen im Schwelformenansatz, wodurch sie leichter implementierbar sind.

Neumann-Randbedingungen finden Anwendung in vielen Bereichen, darunter Wärmeleitung, Potentialtheorie, Elastizität und Elektromagnetismus, oft in Gegenüberstellung zu Dirichlet-Bedingungen oder in Kombination als Robin-Bedingungen.